期待値とは

期待値は、同じことを何度もくり返したときに、1回あたり平均でどのくらいの結果になるかを表す値です。確率変数Xの期待値はE[X]と書き、平均を表すμで書くこともあります。

求め方

離散型では、とりうる値に、その値が出る確率をかけて足し合わせます。式では E[X] = Σ x × P(X = x) です。連続型では、値に確率密度をかけて、全範囲で積分します。

計算例

1回300円で引けるくじで、1,000円が当たる確率が0.2、100円が当たる確率が0.3、はずれが0.5だとします。もらえる金額の期待値は、1,000 × 0.2 + 100 × 0.3 + 0 × 0.5 = 200 + 30 + 0 = 230円です。1回に300円を払うので、くり返すと1回あたり平均70円の損になると見込めます。

公正なサイコロの目の期待値は、(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 21/6 = 3.5です。3.5の目は存在しないので、期待値は実際に出る値とは限りません。

平均値・最頻値との違い

データの平均値は、実際に集めた値から計算します。期待値は、確率分布から決まる理論上の値です。同じ試行を独立にくり返す回数を増やすと、結果の平均は期待値に近づいていきます。これを大数の法則と呼びます。また、最も起こりやすい値（最頻値）と期待値は、一般には一致しません。

ばらつきを表す分散も、期待値を使って定義されます。平均からのずれの2乗の期待値、E[(X − μ)²] が分散です。

AIとの関係

• 強化学習：状態価値関数や行動価値関数は、将来の報酬を割り引いて足し合わせた収益の期待値です。エージェントは、この期待値が大きくなる方策を探します。
• 損失関数：学習で本当に小さくしたいのは、まだ見ぬデータも含めた損失の期待値です。手元のデータでの損失の平均は、その近似にあたります。
• 意思決定：起こりうる結果ごとの確率と費用をかけ合わせて期待損失を計算し、対策どうしを比べます。