確率密度とは

確率密度は、身長や待ち時間のような連続型の確率変数で、どのあたりの値が出やすいかを表す量です。値ごとに確率密度を対応させた関数を、確率密度関数と呼びます。

なぜ「密度」なのか

連続型の値では、「ちょうど170.000…cm」になる確率は0です。そこで、1点ごとの確率ではなく、区間に入る確率を考えます。確率密度は、この確率を求めるための高さにあたります。人口密度に面積をかけると人口になるように、確率密度に区間の幅をかけると、おおよその確率になります。正確には、確率密度関数を区間で積分した値、つまりグラフの下の面積が確率です。

計算例

バスが10分おきに来る停留所に、時刻表を見ずに着いたとします。待ち時間Xは、0分から10分までのどの値も同じように起こりやすいので、確率密度は区間全体で1 ÷ 10 = 0.1です。待ち時間が2分以上5分以下になる確率は、幅3 × 高さ0.1 = 0.3です。0分から10分全体では、10 × 0.1 = 1になります。

確率との違い

• 確率密度は確率そのものではないので、1を超えることがあります。たとえば0以上0.2以下の一様な分布では、面積を1にするため、確率密度は5です。
• 確率密度は、負の値にはなりません。
• 正規分布の確率密度関数は、平均の位置で最も高い釣り鐘型をしています。

離散型では、値ごとの確率を表す確率質量関数を使います。こちらは値そのものが確率なので、1を超えません。

AIとの関係

最尤法では、観測したデータの確率密度の値を尤度として使い、それが最大になるパラメータを選びます。回帰で誤差が正規分布に従うと仮定すると、最尤法の答えは最小二乗法の答えと一致します。VAEなどの生成モデルも、データや潜在変数の確率密度を扱います。異常検知では、確率密度が極端に低い場所にあるデータを、異常の候補とする方法があります。