マハラノビス距離とは

マハラノビス距離は、「その点が、データの集まりの中でどれくらい珍しい位置にあるか」を測る距離です。インドの統計学者マハラノビスが、1936年の論文で一般的な形を示しました。ふつうの直線距離（ユークリッド距離）と違い、データのばらつきと相関を考えに入れます。

ばらつきを考える

変数が1つなら、マハラノビス距離は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」です。たとえば平均170cm、標準偏差5cmの身長なら、180cmの人の距離は(180 − 170) / 5 = 2です。同じ10cmの差でも、標準偏差が10cmの集団なら距離は1です。標準偏差で割るため、cmとkgのように単位の違う変数も同じ物差しで比べられます。

相関を考える

変数が複数なら、平均ベクトルμと共分散行列Σを使い、D = √((x − μ)ᵀ Σ⁻¹ (x − μ))で求めます。共分散行列の逆行列が、ばらつきと相関の両方を補正します。

身長と体重を標準化（平均0、標準偏差1）し、相関係数ρが0.8だったとします。このときD² = (x² − 2ρxy + y²) / (1 − ρ²)です。

• 点A（身長も体重も+1）：D² = (1 − 1.6 + 1) / 0.36 ≈ 1.11で、Dは約1.05
• 点B（身長は+1、体重は−1）：D² = (1 + 1.6 + 1) / 0.36 = 10で、Dは約3.16

ユークリッド距離はどちらも√2（約1.41）です。しかし、平均より背が高いのに体重は軽い点Bは、相関の傾向に逆らう珍しい点なので、距離が大きくなります。

異常検知での使われ方

正常時のデータから平均と共分散行列を求めておき、新しいデータの距離が大きければ異常と判定します。相関のある複数のセンサー値をまとめて評価できます。品質工学のMT法（マハラノビス・タグチ法）も、この考え方を使います。

注意点もあります。外れ値が混じると平均や共分散行列の推定がゆがむため、外れ値に強い推定法を使うことがあります。また、変数の数に比べてデータが少ないと、共分散行列の逆行列を求められないことがあります。

覚え方

「標準偏差で割り、相関のゆがみを直した距離」と覚えます。