ポアソン分布とは

ポアソン分布は、「めったに起きない出来事が、一定の時間や範囲の中で何回起きるか」を表す確率分布です。1日に起きるシステム障害の回数、1ページあたりの誤字の数、ある交差点で1か月に起きる事故の件数などが例です。フランスの数学者ポアソンにちなんで名づけられました。

式と性質

出来事が互いに独立に、一定の平均頻度で起きるとします。一定の時間や範囲での平均回数をλとすると、ちょうどk回起きる確率は次の式で表せます。

P(X = k) = λ^k × e^(−λ) / (kの階乗)

kの階乗は1からkまでの整数の積で、0の階乗は1とします。kは0、1、2…と0以上の整数をとり、上限はありません。期待値と分散がどちらもλになるのが特徴で、分布の形はλだけで決まります。λが小さいと0の近くに山が寄り、右に裾を引く形になります。λが大きくなるほど、左右対称に近づきます。

計算例

あるサービスで、不正アクセスの警報が1日に平均1件鳴るとします（λ = 1）。e^(−1)を0.368とすると、1^k = 1なので、k件の確率は0.368 / (kの階乗)です。

• 0件の確率：0.368 / 1 = 0.368
• 1件の確率：0.368 / 1 = 0.368
• 2件の確率：0.368 / 2 = 0.184

3つの合計は0.920なので、3件以上鳴る確率は1 − 0.920 = 0.080です。平均1件でも、100日のうち8日ほどは3件以上鳴ることになります。回数の分布がわかると、「この件数は偶然の範囲か、異常か」を判断する目安になります。

二項分布との関係

試行回数nが大きく、成功確率pが小さい二項分布は、λ = npのポアソン分布で近似できます。たとえば、1日に1,000回のログインがあり、それぞれが0.1%の確率で失敗するなら、失敗の回数はλ = 1のポアソン分布で近似できます。nとpを別々に知らなくても、平均回数λさえわかれば使えるのが利点です。

覚え方

「まれな出来事の回数は、λひとつで決まる」と覚えます。