偏相関係数とは

偏相関係数は、「見かけの相関」と「本当に残る相関」を分けるための指標です。

たとえば、アイスクリームの売上と水難事故の件数には、正の相関が見られることがあります。しかし両方とも、気温が高い日に増えるだけかもしれません。このように、第3の変数が2つの変数に影響して生まれる相関を、疑似相関といいます。偏相関係数は、気温の影響を取り除いたあとで、売上と事故件数の間にまだ相関が残るかを調べます。

求め方の考え方

変数XとYについて、第3の変数Zの影響を除きたいとします。まず、XをZから予測できる部分と、予測できない残り（残差）に分けます。Yも同じように分けます。そして、2つの残差どうしの相関係数を求めます。これが、Zを制御したときのXとYの偏相関係数です。

3つの変数どうしの相関係数がわかっていれば、次の式でも計算できます。

r(XY・Z) = (r(XY) − r(XZ) × r(YZ)) / √((1 − r(XZ)²) × (1 − r(YZ)²))

計算例

r(XY) = 0.8、r(XZ) = 0.9、r(YZ) = 0.9とします。分子は0.8 − 0.81 = −0.01です。分母は√(0.19 × 0.19) = 0.19です。偏相関係数は約−0.05となり、0.8あった相関がほぼ消えます。XとYの相関は、ほとんどがZを通じたものだったとわかります。

注意点

値の範囲は、相関係数と同じく−1から1です。取り除けるのは、分析に含めた変数の、直線的な影響だけです。測っていない変数が影響している可能性は残ります。そのため、偏相関係数が大きくても、因果関係があるとまでは言えません。

覚え方

「第3の変数をそろえても、まだ相関は残るか」を測る値と覚えます。