ユークリッド距離とは

ユークリッド距離は、ふだん定規で測る「まっすぐな距離」を、何次元のデータにも広げたものです。

求め方

2点x = (x1, x2, …, xn)とy = (y1, y2, …, yn)の距離は、次の式で求めます。

d(x, y) = √((x1 − y1)² + (x2 − y2)² + … + (xn − yn)²)

2次元なら三平方の定理そのものです。たとえば(1, 2)と(4, 6)の距離は、√(3² + 4²) = √25 = 5です。2点の差のベクトルの長さ（L2ノルム）ともいえます。

機械学習での使われ方

k-means法では、各データを最も近いクラスタの中心に割り当てるときに使います。k近傍法では、距離の近いデータの多数決で分類します。階層的なクラスタリングでも、データどうしの距離としてよく使われます。

注意点

1つ目は尺度の影響です。年収（円）と年齢（歳）をそのまま使うと、数値の大きい年収の差が距離をほぼ決めてしまいます。各特徴量を標準化し、尺度をそろえてから計算します。

2つ目は相関の扱いです。ユークリッド距離は、変数どうしに相関があっても、各軸を独立に扱います。ばらつきや相関を考慮したいときは、マハラノビス距離を使います。

3つ目は高次元での性質です。次元が非常に多くなると、最も近い点と最も遠い点の距離の差が相対的に小さくなり、近さの区別がつきにくくなります。次元の呪いの一面です。

ほかの指標との違い

各座標の差の絶対値を足すマンハッタン距離（L1距離）は、碁盤の目の道に沿って進む距離にあたります。コサイン類似度は、ベクトルの長さを無視して、向きの近さだけを比べます。文書の比較のように、量より向きが大事な場面ではコサイン類似度が向いています。

覚え方

「差を2乗して、足して、ルート」と覚えます。