正規分布とは

正規分布は、平均の位置に山の頂点があり、左右になだらかに裾が広がる釣鐘型の確率分布です。ガウス分布とも呼ばれます。身長や測定誤差のように、連続した値をとるデータのモデルとしてよく使われます。

形を決める2つの値

正規分布の形は、平均μと標準偏差σの2つだけで決まります。平均は山の位置を、標準偏差は山の広がりを表します。標準偏差が大きいほど、山は低く横に広がります。式はf(x) = 1 / √(2πσ²) × exp(−(x − μ)² / (2σ²))で、N(μ, σ²)と書きます。

左右対称なので、平均・中央値・最頻値は一致します。

68-95-99.7の目安

正規分布では、平均から±1σの範囲に約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%のデータが入ります。たとえば平均170cm、標準偏差6cmの身長が正規分布に従うなら、164〜176cmに約68%の人が入ります。±3σの外側はごくまれなので、品質管理や異常検知で外れ値の目安に使われます。

値から平均を引いて標準偏差で割る（z = (x − μ) / σ）と、平均0・標準偏差1の標準正規分布に変換できます。これを標準化といいます。

よく使われる理由

同じ分布に従う独立な値をたくさん足し合わせると、その和や平均の分布は、もとの分布の形によらず正規分布に近づきます。これを中心極限定理といいます。機械学習でも、回帰の誤差が正規分布に従うと仮定すると、最尤法の結果が最小二乗法と一致します。重みの初期値を乱数で決めるときや、VAEの潜在変数の事前分布にも使われます。

一方、件数のような0以上の整数をとるデータには、二項分布やポアソン分布のほうが適しています。

覚え方

「1σで約7割、2σで約95%、3σでほぼ全部」と覚えます。