二項分布とは

二項分布は、「同じことを何回かくり返したとき、うまくいくのは何回か」を表す確率分布です。成功か失敗かの2通りの試行を、同じ成功確率pで、互いに影響しないようにn回くり返す場面を考えます。このときの成功回数Xが従う分布をB(n, p)と書きます。

確率の求め方

ちょうどk回成功する確率は、次の式で求めます。

P(X = k) = nCk × p^k × (1 − p)^(n − k)

p^k × (1 − p)^(n − k)は、成功と失敗の並び方を1つ決めたときの確率です。nCkは、n回のうちどのk回で成功するかの組み合わせの数です。

たとえば、購入率0.3のサイトに4人が訪れ、各人が独立に買うかどうかを決めるとします。4C2 = 6なので、ちょうど2人が買う確率は6 × 0.3² × 0.7² = 6 × 0.09 × 0.49 = 0.2646、約26%です。

平均と分散

期待値はnp、分散はnp(1 − p)です。上の例では、期待値は4 × 0.3 = 1.2人、分散は4 × 0.3 × 0.7 = 0.84です。

AIの評価にも使えます。どのデータも確率0.9で正しく判定し、当たり外れが互いに独立とみなせるモデルで、テストデータ100件を判定するとします。正解数はB(100, 0.9)に従い、期待値は90件、標準偏差は√(100 × 0.9 × 0.1) = √9 = 3件です。正解数が87件や93件になることも、偶然のぶれとして十分に起こりえます。テストの件数が少ないときに、正解率のわずかな差を性能の差と決めつけないための目安になります。

ほかの分布との関係

n = 1の二項分布は、ベルヌーイ分布です。nが大きく、pが小さいときは、λ = npのポアソン分布で近似できます。nが大きく、npとn(1 − p)がどちらも十分に大きいときは、正規分布で近似できます。

覚え方

「n回中k回、並べ方はnCk通り」と覚えます。