単回帰分析とは

単回帰分析は、2つの量の関係を1本の直線で表す、最も単純な回帰の方法です。「気温が1度上がると、飲み物の販売数がどれだけ増えるか」のような問いに答えます。

式の形

予測したい変数を目的変数y、手がかりにする変数を説明変数xとして、y = ax + bの形の回帰直線を求めます。aは傾き（回帰係数）で、xが1増えたときのyの予測値の変化量です。bは切片で、x = 0のときの予測値です。

aとbは最小二乗法で求めます。各値と平均との差を偏差と呼ぶと、傾きは「xとyの偏差の積の和 ÷ xの偏差の2乗の和」です。切片は「yの平均 − 傾き × xの平均」なので、直線は必ずxの平均とyの平均の組の点を通ります。

計算例

ある会社で、4週間分のウェブ広告の出稿回数x（回）と資料請求の件数y（件）を記録し、(1, 3)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 8)を得たとします。

• 平均：xは2.5、yは5
• 偏差の積の和：(−1.5)×(−2) + (−0.5)×0 + 0.5×(−1) + 1.5×3 = 7
• xの偏差の2乗の和：2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5
• 傾き：a = 7 ÷ 5 = 1.4
• 切片：b = 5 − 1.4 × 2.5 = 1.5

回帰直線はy = 1.4x + 1.5です。広告を3回出す週の予測は1.4 × 3 + 1.5 = 5.7件です。

当てはまりのよさと限界

当てはまりのよさは決定係数で表します。単回帰分析では、決定係数は相関係数の2乗に等しくなります。この例ではyの偏差の2乗の和が4 + 0 + 1 + 9 = 14なので、決定係数は7 × 7 ÷ (5 × 14) = 0.7です。

ただし、回帰直線が示すのは2つの変数の関係の傾向で、因果関係までは示しません。データの範囲（ここでは1〜4回）から大きく外れたxでの予測も、当てにしにくくなります。目的変数に影響する要因が複数あるときは、説明変数を増やした重回帰分析を使います。