ベクトル自己回帰モデル（VARモデル）とは

ベクトル自己回帰モデル（VARモデル）は、自己回帰モデル（ARモデル）を複数の時系列に広げたモデルです。ARモデルが1つの系列を自分の過去の値だけで予測するのに対し、VARモデルは、いくつかの系列が過去の値を通じて互いに影響し合う関係を、まとめて表します。

式の形

所得x(t)と消費y(t)を例にします。1時点前の値を使うVAR(1)モデルは、次の2本の式の組です。

• x(t) = c1 + a11·x(t-1) + a12·y(t-1) + ε1(t)
• y(t) = c2 + a21·x(t-1) + a22·y(t-1) + ε2(t)

変数ごとに1本ずつ式を立て、どの式の右辺にも、すべての変数の過去の値を入れます。a12は消費の過去の値が所得に与える影響、a21は所得の過去の値が消費に与える影響です。どの変数も、予測される側であると同時に、ほかの変数を説明する側でもあります。係数は、式ごとに最小二乗法で推定できます。

係数の数に注意

変数の数をK、使う過去の時点の数（ラグ）をpとすると、推定する係数は定数項を含めてK + p × K^2個です。各式に定数項1個と「K個の変数×p時点」の係数があり、その式がK本あるためです。K = 2、p = 1なら2 + 1 × 4 = 6個ですが、K = 4、p = 2では4 + 2 × 16 = 36個に増えます。

係数が多いほど、推定の誤差が予測に入り込みやすくなります。そのため、互いに関係のある少数の変数に絞ります。ラグの数は、BICなどの情報量規準で選ぶのが一般的です。

何に使うか

経済学者のシムズが1980年の論文でマクロ経済の分析に使うことを提唱し、広く使われるようになりました。複数の系列の同時予測のほか、ある変数の過去の値が別の変数の予測に役立つかを調べるグレンジャー因果性の検定や、ある変数の急な変化がほかの変数にどう波及するかを見る分析にも使われます。