ある飲食チェーンで、5店舗の1週間のチラシ配布枚数X（千枚）と来店客数Y（百人）を調べたところ、(X, Y)は(1, 5)、(2, 4)、(3, 6)、(4, 8)、(5, 7)であった。偏差の積の和をデータの個数5で割って共分散を求めるとき、XとYの共分散と相関係数の組み合わせとして、最も適切なものを1つ選べ。
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解説
正解 A
この問題の論点：共分散と相関係数の計算
ポイント
相関係数は、共分散をXとYの標準偏差の積で割った値です。単位の影響を除き、−1から1の範囲で直線的な関係の強さを表します。
選択肢ごとの解説
- A
適切 正解
平均はX=3、Y=6です。偏差はXが−2、−1、0、1、2、Yが−1、−2、0、2、1で、偏差の積の和は2+2+0+2+2=8、共分散は8÷5=1.6です。分散はどちらも10÷5=2なので、相関係数は1.6÷(√2×√2)=0.8です。
- B
不適切
8は偏差の積の和で、データの個数で割る前の値です。共分散は偏差の積の平均なので、8を5で割って1.6とします。相関係数は8÷√(10×10)=0.8と和のままでも求まり、割る数の影響を受けません。
- C
不適切
0.4は、共分散1.6を分散の積2×2=4で割った値です。相関係数は、共分散を標準偏差の積√2×√2=2で割って求めます。分散の積で割った値は、データの単位を変えると変わってしまいます。
- D
不適切
0.64は相関係数0.8を2乗した値です。単回帰分析では、この値が決定係数にあたり、Yのばらつきのうち回帰直線で説明できる割合を表します。相関係数そのものではありません。
補足
共分散は単位に左右されます。来店客数を百人単位から人単位（100倍）に直すと、共分散は1.6×100=160になりますが、相関係数は0.8のままです。共分散の符号で関係の向きはわかりますが、関係の強さを比べるときは相関係数を使います。
試験での狙われ方
偏差から共分散と相関係数を計算させたり、共分散と相関係数の性質の違いを確かめたりする形が考えられます。