ある広告を5回表示したところ、クリックの有無は順に「あり、なし、なし、あり、なし」であった。各表示は独立で、クリックされる確率pのベルヌーイ分布に従うとする。この順序の結果が得られる確率をpの関数とみなしたものを尤度L(p)とするとき、L(p)を最大にするpの値と、そのときの尤度の組み合わせとして、最も適切なものを1つ選べ。
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解説
正解 A
この問題の論点：ベルヌーイ分布の最尤推定
ポイント
ベルヌーイ分布の最尤推定値は、観測された成功の割合（成功回数÷試行回数）です。各観測が独立なら、尤度は各観測結果の確率の積です。
選択肢ごとの解説
- A
適切 正解
尤度はL(p)=p²(1−p)³で、最大になるのはクリックされた割合2÷5=0.4のときです。L(0.4)=0.4²×0.6³=0.16×0.216=0.03456で、p=0.5や0.6のときより大きくなります。
- B
不適切
0.03125は、L(0.5)=0.5の5乗の値です。確率がわからないときに0.5とおくのは最尤法の考え方ではありません。L(0.4)=0.03456のほうが大きいので、p=0.5は尤度を最大にしません。
- C
不適切
0.6は、クリックされなかった割合3÷5です。L(0.6)=0.6²×0.4³=0.36×0.064=0.02304で、L(0.4)より小さくなります。pはクリックされる確率なので、クリックありの割合が推定値になります。
- D
不適切
0.16は、クリックありの2回分の0.4×0.4だけをかけた値です。クリックなしの3回もそれぞれ確率1−p=0.6で起きるので、尤度には0.6³=0.216もかけて0.03456とします。
補足
L(p)=p²(1−p)³を微分すると、p(1−p)²(2−5p)になります。0<p<1の範囲でこれが0になるのはp=0.4だけで、その前後でL(p)は増加から減少に変わります。実際の計算では、積を和に直せる対数尤度を最大化することが多く、得られる推定値は同じです。
試験での狙われ方
尤度を最大にするパラメータを選ぶという最尤法の考え方を、コイン投げやクリックの有無などの単純な例で確かめる形が考えられます。