あるECサイトで、直近5か月の月間広告費X（万円）と月間売上Y（万円）を調べたところ、(X, Y)は(2, 10)、(4, 14)、(6, 13)、(8, 18)、(10, 20)であった。最小二乗法で、YをXで説明する回帰直線Y=aX+bを求めた結果として、最も適切なものを1つ選べ。
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解説
正解 A
この問題の論点：最小二乗法による回帰直線
ポイント
最小二乗法の回帰直線の傾きは偏差の積の和÷Xの偏差の2乗の和で求まり、直線は必ず平均の点を通ります。
選択肢ごとの解説
- A
適切 正解
平均はX=6、Y=15です。偏差の積の和は(−4)×(−5)+(−2)×(−1)+0×(−2)+2×3+4×5=48、Xの偏差の2乗の和は16+4+0+4+16=40なので、a=48÷40=1.2です。b=15−1.2×6=7.8です。
- B
不適切
0.75は、偏差の積の和48をYの偏差の2乗の和64で割った値で、XをYで説明する回帰直線X=cY+dの係数cにあたります。YをXで説明するときは、Xの偏差の2乗の和40で割ります。
- C
不適切
傾きは正しいものの、Yの平均15をそのまま切片にしています。最小二乗法の回帰直線は必ず平均の点(6, 15)を通ります。X=6を代入すると22.2となり、平均の15と一致しません。
- D
不適切
1.6は、Yの偏差の2乗の和64をXの偏差の2乗の和40で割った値で、YとXの分散の比です。傾きは、偏差の積の和をXの偏差の2乗の和で割って48÷40=1.2と求めます。
補足
傾きは「XとYの共分散÷Xの分散」と書いても同じ値です（48÷5=9.6、40÷5=8で、9.6÷8=1.2）。この直線による予測値は10.2、12.6、15.0、17.4、19.8で、実測値との差（残差）は−0.2、1.4、−2.0、0.6、0.2です。最小二乗法の回帰直線では、残差の合計は必ず0になります。
試験での狙われ方
少数のデータから回帰直線の傾きと切片を求めさせる形や、回帰直線が平均の点を通る性質を問う形が考えられます。
参考
- G検定 試験出題範囲（シラバス2024）第1.4版 （技術分野 項目37 AIに必要な数理・統計知識）
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods 4.4.3.1 Least Squares