ある回帰分析で、説明変数の数が異なる3つのモデルを最尤推定で当てはめた。最大対数尤度とパラメータ数は、モデルXが−210と3、モデルYが−204と6、モデルZが−200と12であった。赤池情報量規準(AIC)でモデルを選ぶとき、選ばれるモデルとそのAICの値の組み合わせとして、最も適切なものを1つ選べ。
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解説
正解 A
この問題の論点：AICによるモデル選択の計算
ポイント
AICは当てはまりの良さにパラメータ数に応じた罰則を加えた指標です。最大対数尤度が最も大きいモデルが選ばれるとは限りません。
選択肢ごとの解説
- A
適切 正解
AICは「−2×最大対数尤度+2×パラメータ数」です。Xは420+6=426、Yは408+12=420、Zは400+24=424となり、値が最も小さいYが選ばれます。
- B
不適切
罰則項を2×パラメータ数ではなく、パラメータ数のまま足した値です。この誤りではZが400+12=412で最小に見えます。正しく計算するとZは424で、Yの420より大きくなります。
- C
不適切
第1項の符号を逆にして、2×最大対数尤度+2×パラメータ数で計算した値です。AICの第1項は−2×最大対数尤度なので、当てはまりが良いほど小さくなります。
- D
不適切
罰則項を足さず、−2×最大対数尤度だけで比べた値です。これでは当てはまりが最も良いZが選ばれますが、パラメータ数の多さを考慮していません。AICは罰則項で複雑さとの釣り合いをとります。
補足
同じ3つのモデルをベイズ情報量規準(BIC)で比べると、選ばれるモデルが変わることがあります。BICの罰則項は「パラメータ数×データ数の自然対数」です。データ数が100件なら1パラメータあたり約4.6となり、Xが約433.8、Yが約435.6、Zが約455.3で、最も単純なXが選ばれます。BICのほうが単純なモデルを選びやすいことが、数値でも確かめられます。
試験での狙われ方
AICは値が小さいほど良いこと、罰則項がパラメータ数で決まることを、計算や正誤判断で問う形が典型的です。BICとの罰則の違いもあわせて確認します。
参考
- G検定 試験出題範囲（シラバス2024）第1.4版 （技術分野 項目10 モデルの選択・評価）
- Akaike, A new look at the statistical model identification (1974)