ある回帰分析で、1,100件のデータに、パラメータ数の異なる2つのモデルを最尤推定で当てはめた。最大対数尤度は、パラメータ数4のモデルPが−520、パラメータ数9のモデルQが−505であった。赤池情報量規準(AIC)とベイズ情報量規準(BIC)のそれぞれでモデルを選ぶとき、選ばれるモデルの組み合わせとして、最も適切なものを1つ選べ。なお、データ数の自然対数は7として計算する。
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解説
正解 A
この問題の論点：AICとBICで選ぶモデルの違い
ポイント
BICのパラメータ1つ当たりの罰則はデータ数の自然対数ln nで、nが8以上ならAICの2より大きくなります。そのためBICは単純なモデルを選びやすくなります。
選択肢ごとの解説
- A
適切 正解
AIC=−2×最大対数尤度+2×パラメータ数で、Pは
1040+8 = 1048、Qは1010+18 = 1028です。BIC=−2×最大対数尤度+パラメータ数×7で、Pは1040+28 = 1068、Qは1010+63 = 1073です。どちらも値の小さいモデルを選びます。 - B
不適切
選ばれるモデルが逆です。AICは1028のQ、BICは1068のPが最小です。パラメータ1つ当たりの罰則はAICが2、BICが
ln n = 7で、罰則の大きいBICのほうが単純なモデルを選びます。 - C
不適切
AICではQが選ばれますが、BICでは選ばれません。Qは当てはまりを
1040−1010 = 30改善しますが、BICの罰則は63−28 = 35増えるため、合計ではPのほうが小さくなります。 - D
不適切
BICではPが選ばれますが、AICでは選ばれません。AICの罰則の増加は
18−8 = 10で、当てはまりの改善30を下回るため、AICではQのほうが小さくなります。
試験での狙われ方
AICとBICの罰則の違いを、同じデータで選ばれるモデルが変わる例や、データ数を増やしたときの振る舞いとして問う形が考えられます。