変数Xと変数Yの散布図を描いたところ、すべての点がU字型の曲線Y=X²の上に並んでいた。Xの値は0を中心に左右対称に分布している。このデータに関する説明として、最も適切なものを1つ選べ。
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解説
正解 C
この問題の論点：相関係数と相互情報量
ポイント
相関係数が表すのは直線的な関係の強さだけです。相関係数が0でも、非線形な依存関係が隠れていることがあります。
選択肢ごとの解説
- A
不適切
相関係数が捉えるのは直線的な関係です。このデータでは、Xが負の側ではXが増えるとYが減り、正の側ではYが増えます。正と負の傾向が打ち消し合い、相関係数は0に近くなります。
- B
不適切
相関係数は共分散を2つの標準偏差の積で割った値です。両者の符号は常に一致し、一方が0なら他方も0です。このデータでは正負の傾向が打ち消し合い、共分散も0に近くなります。
- C
適切 正解
相互情報量は、一方の変数を知ることで他方の不確かさがどれだけ減るかを表す量で、2変数が独立なときに限り0になります。非線形な関係も捉えられ、このデータでは0より大きくなります。
- D
不適切
相関係数が0でも、独立とは限りません。このデータではXが決まればYも1つに決まり、強い依存関係があります。なお逆向きは成り立ち、2変数が独立なら相関係数は0になります。
補足
たとえばXが−2、−1、0、1、2のとき、Yは4、1、0、1、4です。Xの平均は0、Yの平均は2なので、偏差の積の和は(−2)×2+(−1)×(−1)+0×(−2)+1×(−1)+2×2=0となり、共分散も相関係数も0になります。それでもXからYは確実に求まります。
試験での狙われ方
「相関係数が0なら無関係か」を問う形が典型です。散布図の形と相関係数の値を対応させて考えると判断しやすくなります。
参考
- G検定 試験出題範囲（シラバス2024）第1.4版 （技術分野 項目37 AIに必要な数理・統計知識）
- 総務省統計局 なるほど統計学園「複数の変数の関係性を見る」
- Shannon, A Mathematical Theory of Communication (1948)