文書×単語の出現回数の行列や、ユーザー×商品の評価の行列の次元削減に用いられる、特異値分解(SVD)に関する説明として、最も適切なものを1つ選べ。
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解説
正解 B
この問題の論点：特異値分解による低ランク近似
ポイント
特異値分解では、大きい特異値の成分だけを残すと元の行列を低ランクで近似できます。文書や評価の行列の次元削減に使われます。
選択肢ごとの解説
- A
不適切
特異値分解は、行と列の数が異なる長方形の行列にも適用できます。正方行列を前提とするのは固有値分解です。文書×単語のような長方形の行列をそのまま分解できる点が、特異値分解の利点です。
- B
適切 正解
特異値分解は行列を3つの行列の積に分け、特異値が各成分の重要さを表します。大きい順にk個だけ残すと、ランクkの行列の中で誤差の二乗和が最小になる近似が得られます。
- C
不適切
特異値はつねに0以上の値なので、絶対値を考える必要はありません。負の値をとりうるのは固有値分解の固有値のほうです。低ランク近似では、値の大きい特異値の成分から順に残します。
- D
不適切
平均を引いて中心化したデータ行列を特異値分解すると、右特異ベクトルが主成分の方向になり、共分散行列の固有値分解と同じ主成分が得られます。scikit-learnのPCAも特異値分解で計算しています。
補足
文書×単語の行列に特異値分解を適用し、少数の潜在的な次元で文書や単語を表す方法は、潜在意味解析(LSA)と呼ばれます。似た文脈で使われる単語が近い位置に来るため、文書検索などに使われてきました。
試験での狙われ方
特異値分解を、主成分分析、推薦システム、文書の潜在的な意味の抽出と結び付けて問う形が考えられます。